高考数学圆锥曲线最经典题型研究教案

圆锥曲线最经典题型研究
第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查
1、（2010辽宁理数）设双曲线的―个焦点为F；虚轴的―个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐
 近线垂直，那么此双曲线的离心率为
 (A)    (B)    (C)    (D) 
【答案】D
2、（2010辽宁理数）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么_PF_=
 (A)    (B)8   (C)    (D)16
【答案】B
3、（2010上海文数）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为  y28x    。
4、（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线的准线为，过 且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则         ．
若双曲线_=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于　　　　　　　　。
【答案】1
5、已知椭圆的两焦点为,点满足,则__+_的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。
6、已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若   成立，则双曲线的离心率为（▲  ）
A．4 B． C．2D．

8、（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A.  直线       B.    椭圆     C.    抛物线        D.双曲线
解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B
 
9、（2010四川理数）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A）        （B）         （C）          （D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而_FA_＝
 _PF_∈[a_c,a＋c]
于是∈[a_c,a＋c]
即ac_c2≤b2≤ac＋c2
∴

又e∈(0,1)
故e∈
答案：D
10、（2010福建理数）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为(    )
A．    B．     C．      D．
【答案】B
11、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是       . 
12、（2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则的最小值为___________.    
13、（北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）直线过双曲线 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是           ．

14、（2010全国卷1文数）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠  =，则
(A)2    (B)4     (C)6     (D)8
15、（2010全国卷1理数）(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为
(A)      (B)      (C)       (D)
 
16、（2010重庆理数）(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析：设BF=m,由抛物线的定义知
 
 中，AC=2m,AB=4m,
 直线AB方程为
 与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
17、（2010上海文数）已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足 ？令，，点的坐标是（8，1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
解析：(1) ；
(2)由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以>0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2k1)xp，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
 ，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．
18、（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）
   己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．
  （Ⅰ）求C的离心率；
  （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
19、（2010安徽文数）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，
焦点在轴上，离心率。
   (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
 
20、（2010全国卷1理数）（21）(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.
21、（2010江苏卷）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

22、在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.
  （I）求轨迹C的方程；
  （II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.
解：（1）的距离之和是4，
 的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，
其方程为 …………3分
 （2）将，代入曲线C的方程，
整理得  
 …………5分
因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以①
设，则
  ②…………7分
且③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（2，0），
所以
由
将②、③代入上式，整理得 …………10分
所以
即经检验，都符合条件①
当b=2k时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点（2，0）点.
即直线经过点A，与题意不符.
当时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点点，且不过点A.
综上，k与b的关系是：
且直线经过定点点 …………13分
 
23、（北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）（本小题满分13分）
 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M.
   （1）求椭圆C的方程；
  （2）求直线的方程以及点M的坐标；
  （3））是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.
解（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得
 解得，故椭圆C的方程为.……………………4分
  （Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为 
 由 得.①
 因为直线与椭圆相切，所以 
 整理，得 解得[
所以直线l方程为
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为…………9分
  （Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得
 
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为
所以
所以.
又，
 因为即，
 所以 .
 即
 所以，解得
   因为A，B为不同的两点，所以.
 于是存在直线1满足条件，其方程为………………………………13分
24、直线的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
答案：.解：（Ⅰ）将直线
 ……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
 
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
 ……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：
 
整理得
 ……③
把②式及代入③式化简得
 
解得
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.