例1,弧ADB为半圆，AB为直径，O为半圆的圆心，且OD垂直于AB，Q为半径OD的中点，已知AB长为4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且始终保持/PA/+/PB/的值不变。过点D的直线与曲线C交于不同的两点M、N，求三角形OMN面积的最大值。
例2：已知双曲线x2y2/2=1，过点M(1,1)作直线L，使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且点M是线段Q1Q2的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。
解：假设存在满足题意的直线L，设Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2)
代人已知双曲线的方程，得x12y12/2=1① ， x22y22/2=1②
②①，得(x2x1)(x2+x1)(y2y1)(y2+y1)/2=0。
当x1=x2时，直线L的方程为x=1，此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意；
当x1≠x2时，有(y2y1)/(x2x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.
故直线L的方程为y1=2(x1)
检验：由y1=2(x1)，x2y2/2=1，得2x24x+3=0,其判别式
=8 0，此时L与双曲线无交点。 综上，不存在满足题意的直线
例3,已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（_1，0）（1，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
（Ⅰ）解由题意，c＝1,可设椭圆方程为。
因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。
所以椭圆方程为 ．
（Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得，代入得
设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，
所以， 。
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得
， 。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值，其值为。
4,已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
解 方法一（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
（2）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，
从而，由得0，
设则得，从而
即又
由得 故
又
当且仅当，即时等号成立
时，线段的长度取最小值
例5．已知点, 是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
(1)证明线段是圆的直径;
(2)当圆C的圆心到直线X2Y=0的距离的最小值为时，求p的值
解析：(I)证明1:
整理得: ，
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明2:
整理得:
……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点满足上方程,展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
证明3:
整理得:
……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值,由题设得
.
解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则
所以圆心的轨迹方程为
设直线x2y+m=0到直线x2y=0的距离为,则
因为x2y+2=0与无公共点,
所以当x2y2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x2y=0的距离最小值为
将(2)代入(3)得
解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x2y=0的距离为d,则
声明：有的资源均来自网络转载，版权归原作者所有，如有侵犯到您的权益 请联系邮箱：yuname@163.com 我们将配合处理！
原文地址：高考数学圆锥曲线设而不求法典型试题复习教案发布于2021-10-22
