高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案

9.8圆锥曲线的综合问题
★知识梳理★
1.直线与圆锥曲线C的位置关系：
将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交点个数：
①当a＝0或a≠0，＝0  时,曲线和直线只有一个交点；②当a≠0,>0时,曲线和直线有两个交点；③当<0时,曲线和直线没有交点。
(2)弦长公式：
2.对称问题：
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求动点轨迹方程：
①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。
★重难点突破★
重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.
2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用
问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为      .
点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，结合图形， ，当共线时最小，最小值为
★热点考点题型探析★
考点1直线与圆锥曲线的位置关系
题型1：交点个数问题
[例1]设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）
 A．[_，]B．[_2，2]C．[_1，1]D．[_4，4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
[解析]　易知抛物线的准线与x轴的交点为Q(_2,0)，
于是，可设过点Q(_2,0)的直线的方程为，
联立
其判别式为，可解得 ，应选C.
【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法
（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）
（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论
【新题导练】
1.（09摸底）已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.
[解析]（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，
代入圆的方程得曲线C的方程：
（2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,
∴直线的方程为.由,  得 
∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，∴ 
解得.∴m的取值范围是.
题型2：与弦中点有关的问题
[例2]（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为_2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点，求直线的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解
[解析] (Ⅰ)设，
因为,所以化简得:
(Ⅱ)设 
当直线⊥x轴时,的方程为,则,它的中点不是N,不合题意
设直线的方程为 将代入得
 …………(1)   …………(2) 
(1)_(2)整理得:
直线的方程为即所求直线的方程为
解法二:当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,
其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,
将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得 ,解得,
将代入(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁
【新题导练】
2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程。
[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点，则
 ，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
3.已知直线y＝_x＋1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x_2y＝0上，求此椭圆的离心率
[解析]设，AB的中点为,
代入椭圆方程得，,两式相减,得.
 AB的中点为在直线上，，
 ，而  
题型3：与弦长有关的问题
 [例3](山东泰州市联考)已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？
 
 

【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△面积的最大值取得的条件
 [解析]（1）将代入得，
由△可知，弦长AB，解得；
（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得，即，即位于（4，4）点处．
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
【新题导练】
4.(山东省济南市高三统一考试)
已知椭圆与直线相交于两点．
（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦的长度；
[解析]（1）由已知得：，∴
所以椭圆方程为：
（2），由，得 
∴ ∴
（文）已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．
（文）解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为．设，，
联立得．则．
所以．
故线段DE的长为．
考点2：对称问题
题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）
【新题导练】
[例4]若直线l过圆x2＋y2＋4x_2y＝0的圆心M交椭圆＝1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线l的方程．
[解析] ，设，则
又，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
所以直线l的方程为：8x_9y＋25＝0.
5.已知抛物线y2＝2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.
求证：点A、B关于x轴对称；
                                                              
[解析]设，，，
 ，即，
 ，，，故点A、B关于x轴对称
6.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围.
[解析]（1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点．
（2）当k≠0时，设抛物线y2＝4x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线 ，可设
代入y2＝4x得         
 
  ，
 在直线y＝kx＋3上， ，
代入得即,又恒成立，所以_1＜k＜0．
综合（1）（2），k的取值范围是（_1，0）
考点3圆锥曲线中的范围、最值问题
题型：求某些变量的范围或最值
 [例5]已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
 [解析]由，得
由，得此时 
由，得，∴
即，故由，得
∴由得，∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法：
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．
【新题导练】
7.已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若_PB_的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。
[解析]由，设
 ，
 ，，解得或
又或
8.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
[解析]设，，
因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，
将它代入得　
由得即
 
 ， 
将代入得 
当且仅当即时取等号，此时，
所以，点M为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为．
9.直线m：y＝kx＋1和双曲线x2_y2＝1的左支交于A，B两点，直线过点P（_2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围．
[解析]由消去y得：
 解得
设M（x0，y0）则
 三点共线
令上为减函数.
 
10.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；
（2）求_PA_＋_PB_的最小值和最大值．
[解析]（1）最小值为
（2）最大值为10＋_BC_＝；最小值为10__BC_＝．
考点4 定点，定值的问题
题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量
[例6]已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且_PF_、_MF_、_QF_成等差数列。
求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
【解题思路】利用“_PF_、_MF_、_QF_成等差数列”找出两动点间的坐标关系
证明：设知
 
同理
 
①当，
从而有设PQ的中点为，
得线段PQ的中垂线方程为
 
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：
（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．
【新题导练】
11.已知抛物线C的方程为y＝x2_2m2x_(2m2＋1)(m∈R)，则抛物线C恒过定点         
[解析](_1,0)  [令x＝_1得y＝0]
12.试证明双曲线_＝1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
[解析]双曲线上任意一点为，
它到两渐近线的距离之积   
考点6 曲线与方程
题型：用几种基本方法求轨迹方程
[例7]已知抛物线C：y2＝4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程
［解析］由抛物线y2＝4x,得焦点F(1,0),准线  x＝_1
(1)设P(x,y)，则B(2x_1,2y),　椭圆中心O′,则_FO′_∶_BF_＝e,
又设点B到l的距离为d,则_BF_∶d＝e,∴_FO′_∶_BF_＝_BF_∶d,
即(2x_2)2＋(2y)2＝2x(2x_2),化简得P点轨迹方程为y2＝x_1(x＞1)
[名师指引]求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化
【新题导练】
13.点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是         .
[解析]    [相关点法]
14.过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．
[解析]右焦点（2，0），设
 得，，直线l的斜率
又,,两式相减得,
把，，代入上式得
15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且 的最小值为．求动点的轨迹方程；
[解析]（1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，
点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程．
16.(广东实验中学)已知圆C:.
(1)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程.
(3)若点R(1,0)，在（2）的条件下，求的最小值.
解析（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意    ……1分
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即…2分
设圆心到此直线的距离为，则，得
∴，，………4分　　故所求直线方程为3x_4y＋5＝0
综上所述，所求直线为3x_4y＋5＝0或x＝1    ……………5分
(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0,0)
  ∵，∴  即，     ………7分
又∵，∴        …………9分
直线m//y轴，所以，,∴点的轨迹方程是 ()……10分
（3）设Q坐标为(x,y)，，  ，……11分
又()可得： 
.………13分
  …………14分
★课后训练★
基础巩固训练
1.已知是三角形的一个内角，且，则方程表示
（A）焦点在x轴上的椭圆               （B）焦点在y轴上的椭圆   
（C）焦点在x轴上的双曲线             （D）焦点在y轴上的双曲线
1.[解析]B. 由知，
2.已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（  ）
（A）12            （B）24           （C）48         （D）与椭圆有关
2.[解析]C[由椭圆的对称性可知];
3.已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是     （   ）
 A．双曲线    B．椭圆        C．圆          D．抛物线
3.[解析]D.  [MB＝MF]
4.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条.
4.[解析]3；垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.
5. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是          ．
5.[解析]≤;
6.若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为           .
6.[解析] []
综合提高训练
7.已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为            
7.[解析]12x―23y―2＝0   记住结论：
8.已知椭圆 ，直线l到原点的距离为求证：直线l与椭圆必有两上交点.
8.[解析]证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：
不妨取代入曲线E的方程得： 
即G（，），H（，_）有两个不同的交点，
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：
由题意知：
由
 
∴直线l与椭圆E交于两点,综上，直线l必与椭圆E交于两点
9.求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程．
9.［解析］解：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则： ①    ②
①_②得：
当时，
由题意知，即  ③
③式与联立消去k，得  ④
当时，k不存在，此时，，也满足④．
故弦PQ的中点M的轨迹方程为：
10.已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．
10.[解析]直线的方程为，将，
得:．
设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，
则   又，
∴  ．
∵，∴．
解得．
11.过抛物线的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦，此弦满足：①弦长不超过8；②弦所在的直线与椭圆3x2＋2y2＝2相交，求k的取值范围．
11.解析：抛物线的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为
　　由　得　 2分
　　∴故
由，解得k≥1
由　得　 8分
　　由，解得k2<3   因此1≤k2<3
   ∴k的取值范围是[，_1]∪[1，]
12.在直角坐标平面内，已知两点A（_2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。
（Ⅰ）证明_PA_＋_PB_为常数，并写出点P的轨迹T的方程；
 
12.解：）连结PB∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，∴_PB_＝_PQ_，又_AQ_＝6，
∴_PA_＋_PB_＝_PA_＋_PQ_＝_AQ_＝6（常数）。
又_PA_＋_PB_>_AB_，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a＝6，2c＝4，∴椭圆方程为