算术平均数与几何平均数（二）_教学教案

　　（一）导入新课

　　（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．

　　（学生活动）学生分组讨论，解决问题．

　　[字幕]某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是折销售．试问降价最少的方案是哪一种？

　　［讨论］

　　①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：

　　方案甲：（元）；

　　方案乙：（元）；

　　方案丙：（元）．

　　故降价最少的方案是丙．

　　②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式成立，即，当时，

　　设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．

 　　（二）新课讲授

　　【尝试探索，建立新知】

　　（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．

　　（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．

　　［字幕］如果，那么（当且仅当时取“=”号）．

　　证明：见课本

　　［点评］

　　①强调的充要条件是

 　　②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．

　　③几何解释，如图。

　　[字幕]定理如果a，b是正数，那么（当且仅当时取“=”号）．

　　证明：学生运用“”自己证明．

   ［点评］

　　①强调；

　　②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并叙述它们之间的关系；

　　②比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件）；

　　④几何解释（见课本）；

　　＠指出定理可推广为“n个（）正数的算术平均数不小干它们的几何平均数”．

   设计意图：加深对重要不等式的认识和理解；培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力．

　　【例题示范，学会应用】

　　（教师活动）教师打出字幕（例题），引导学生分析，研究问题，点拨正确运用定理，构建证题思路．

　　（学生活动）与教师一道完成问题的论证．

　　［字幕］例题已知a，b，c，d都是正数，求证：

　　［分析］

　　①应用定理证明；

　　②研究问题与定理之间的联系；

　　③注意应用定理的条件和应用不等式的性质．

　　证明：见课本．

设计意图：巩固对定理的理解，学会应用定理解决某些数学问题．

   【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；巡视学生解题情况，对正确的解法给予肯定和鼓励，对偏差给予纠正；请甲、乙两学生板演；点评练习解法．

　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、动两位同学板演．

  　　［字幕］练习：已知都是正数，求证：

　　（1）；

　　（2）

　　设计意图：掌握定理及应用，反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用定理解决有关数学问题的解题方法．

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．

　　1．重要不等式可以用来证明某些不等式．

　　2．应用重要不等式证明不等式时要注意不等式的结构特征：①满足定理的条件；②不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式．

　　3．用重要不等式证明有关不等式时注意与不等式性质结合．

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握应用重要不等式解决有关数学问题的方

法．

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

　　1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用．

　　2．注意：①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件．

　　设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

 　　（四）布置作业

　　1．课本作业；习题．1，3

　　2．思考题：已知，求证：

　　3．研究性题：设正数，，试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．

　　设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，灵活掌握重要不等式的应用；研究性题是一道结论开放性题，培养学生创新意识．

　　（五）课后点评

　　1．导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．
　　2．在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．
　　3．通过变式训练，使学生在对知识初步理解和掌握后，得到进一步深化，对所学的知识得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学．
　　4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

作业答案

　　思考题证明：因为，所以

．又因为，，，所以，，所以

　　研究性题 ①．由条件得，…（A） 利用公式…（B）．得，即．②．由（A）、（B）之和即得．③．可利用．再利用①，即可得．④．利用立方和公式得到：．利用①可得．利用①②可得．还有……