运用公式法_教学教案

教学设计示例运用公式法完全平方公式(1)

教学目标

1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.

3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．

4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学重点和难点

　　重点：运用完全平方式分解因式.

　　难点：灵活运用完全平方公式公解因式.

教学过程设计

　　一、复习

　　1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

　答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)ax⁴_ax²            (2)16m⁴_n⁴.

　　解(1)ax⁴_ax²=ax²(x²_1)=ax²(x+1)(x_1)

　　  (2)16m⁴_n⁴=(4m²)²_(n²)²

　　    =(4m²+n²)(4m²_n²)

　　    =(4m²+n²)(2m+n)(2m_n).　　

问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

　　答：有完全平方公式.

请写出完全平方公式.

　　完全平方公式是：

　　　　　　　　　　(a+b)²=a²+2ab+b²,  (a_b)²=a²_2ab+b².

　　这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

　　二、新课

　　和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

　　　　　　　　　　a²+2ab+b²=(a+b)²；   a²_2ab+b²=(a_b)².

　　这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a²+2ab+b²及a²_2ab+b²叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.

　　问：具备什么特征的多项是完全平方式?

　　答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.

　　问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

　　(1)x²+6x+9；　　　　　(2)x²+xy+y²；

　　(3)25x⁴_10x²+1；　　　(4)16a²+1.

　　答：(1)式是完全平方式.因为x²与9分别是x的平方与3的平方，6x=2・x・3，所以

　　　　　　　　　　　　　　　x²+6x+9=(x+3).

　　(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.

　　(3)是完全平方式.25x=(5x)，1=1，10x=2・5x・1，所以

　　　　　　　　　　　　　　　25x_10x+1=(5x_1).

　　(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.

　　请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式为：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2・(3x)・y.

　　　　例1 把25x⁴+10x²+1分解因式.

　　分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x⁴”是(5x²)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x²”是5x²与1的积的2倍.所以多项式25x⁴+10x²+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.

　　解　　25x⁴+10x²+1=(5x²)²+2・5x²・1+1²=(5x²+1)².

　　例2　　把1_m+分解因式.

　　问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

　　答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“”是的平方，第二项“_m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

　　解法11_m+=1_2・1・+（）²=（1_）².

　　解法2先提出，则

　　　　　　　　　　　1_m+=(16_8m+m²)

　　　　　　　　　　　　　　　　= (4²_2・4・m+m²)

　　　　　　　　　　　　　　　　=(4_m)².
三、课堂练习(投影)

　　1.填空：

　　(1)x²_10x+（　　）²=（　　）²；

　　(2)9x²+（　　）+4y²=（　　）²；

　　(3)1_（　　）+m²/9=（　　）².

　　2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多

项式改变为完全平方式.

　　(1)x²_2x+4；　　　　　　(2)9x²+4x+1；　　　　(3)a²_4ab+4b²；

　　(4)9m²+12m+4；　　　　　(5)1_a+a²/4.

　　3.把下列各式分解因式：

　　(1)a²_24a+144；　　　　　　　　(2)4a²b²+4ab+1；

　　(3)19x²+2xy+9y²；　　　　　　　(4)14a²_ab+b².

　　答案：

　　1.(1)25，(x_5)²；　　　　(2)12xy，(3x+2y)²；　　　　(3)2m/3，（1_m3）².

　　2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“_2x”改为“_4x”，原式就变为x²_4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x²_2x+1，它是完全平方式.

　　(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x²+6x+1，它是完全平方式.

　　(3)是完全平方式，a²4ab+4b²=(a_2b)².

　　(4)是完全平方式，9m²+12m+4=(3m+2)².

　　(5)是完全平方式，1_a+a²/4=（1_a²）2.

　　3.(1)(a_12)²；　　　　　　(2)(2ab+1)²；

　　 (3)(13x+3y)²；　　　　　　(4)（12a_b）².

　　四、小结

　　运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

　　1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.

　　2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a²+2ab+b²=(a+b)²；如果是负号，则用公式a²_2ab+b²=(a_b)².

　　五、作业

　　把下列各式分解因式：

　　1.(1)a²+8a+16；　　　　　　(2)1_4t+4t²；

　　 (3)m²_14m+49；　　　　　(4)y²+y+1/4.

　　2.(1)25m²_80m+64；　　　　(2)4a²+36a+81；

　　 (3)4p²_20pq+25q²；　　　(4)16_8xy+x2y2；

　　　(5)a²b²_4ab+4；　       (6)25a⁴_40a²b²+16b⁴.

　　3.(1)m²ⁿ_2mⁿ+1；　　　　　(2)7a^m+1_14a^m+7a^m_1；

　　4.(1)x_4x；　　　　　　(2)a⁵+a⁴+a³.

　　答案：

　　1.(1)(a+4)²；　　　　　　　(2)(1_2t)²；

　　　(3)(m_7)²；　　　　　　　(4)（y+12）².

　　2.(1)(5m_8)²；　　　　　　(2)(2a+9)²；

　　　(3)(2p_5q)²；　　　　　　(4)(4_xy)²；

　　　(5)(ab_2)²；　　　　　　(6)(5a2_4b2)².

　　3.(1)(mⁿ_1)²